문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라플라스 방정식 (문단 편집) ==== 구면좌표계 ==== 경계조건이 구형으로 주어질 경우, 구면좌표계를 도입한다. [math(\displaystyle\nabla^2 f\left(r,\theta,\phi\right)=0)] 에서 [math(\displaystyle f\left(r,\theta,\phi\right)=R\left(r\right)\Theta\left(\theta\right)\Phi\left(\phi\right))]라고 하면 [math(\displaystyle\nabla^2{f\left(r,\theta,\phi\right)}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2})] [math(\displaystyle=\frac{\Theta\Phi}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{R\Phi}{r^2\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{R\Theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)] {{{+2 i)}}} 우선 [math(\Phi)]에 대해 풀기 위해 양 변에 [math(\displaystyle\frac{r^2\sin^2\theta}{R\Theta\Phi})]를 곱하면 [math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)] 위에서 세 번째 항에서 [math(\displaystyle\Phi\left(\phi\right))]는 [math(\phi)] 외의 다른 변수의 영향을 받지 않아야 하므로 [math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2})]는 상수이다. [math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=M)] [math(\displaystyle\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}-M\Phi=0)] (M은 상수) 여기에서 상수 [math(M)]의 부호에 따라 [math(\Phi)]는 삼각함수(음수일 때), 쌍곡함수(양수일 때), 일차함수(0일 때)로 나뉘어지는데, 일반적으로 [math(\phi)]는 구면좌표계에서 방위각을 나타내며, [math(\Phi\left(\phi\right))]는 [math(\phi)]가 2π/n(n은 정수)의 주기로 반복되어야하므로 삼각함수가 되어야 한다. 따라서 상수 M을 음수로 놓는다. [math(\displaystyle\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}+m^2\Phi=0)] [math(\displaystyle\Phi=\begin{cases}\sin m\phi \\ \cos m\phi \end{cases})] {{{+2 ii)}}} 이제 [math(R)]에 대해 변수분리하여 풀려면 [math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=0)]에서 [math(\displaystyle\frac{1}{\Phi}\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}=-m^2)]이므로, [math(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)-m^2=0)] 양 변에 [math(\displaystyle\dfrac{1}{\sin^2\theta})]을 곱하면 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}=0)] 첫 항 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right))]에서 역시 [math(R\left(r\right))]은 [math(r)] 이외의 변수에 영향을 받지 않아야 하므로 해당 항은 상수여야 한다. 해당 상수를 편의상 [math(l\left(l+1\right))]로 놓으면 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=l\left(l+1\right))] [math(\displaystyle r^2R''+2rR'-l\left(l+1\right)R=0)] 위 이차 상미분방정식의 해는 [math(\displaystyle R=\begin{cases}r^l \\ r^{-l-1}\end{cases})] 로 잘 알려져 있다. {{{+2 iii)}}} 마지막으로 [math(\displaystyle\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)=l\left(l+1\right))]를 대입하면 라플라스 방정식은 [math(\Theta\left(\theta\right))]에 대해 [math(\displaystyle\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}=0)] [math(\displaystyle\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right)+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta\sin\theta=0)] [math(\mu=\cos\theta)]로 놓으면 연쇄법칙에 따라 [math(\displaystyle\frac{dF}{d\theta}=\frac{dF}{d\mu}\frac{d\mu}{d\theta}=-\sin\theta\frac{dF}{d\mu})]이고, (F는 [math(\theta)]에 관한 함수) [math(\displaystyle-\sin\theta\frac{d}{d\mu}\left(-\sin^2\theta\frac{d\Theta}{d\mu}\right)+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta\sin\theta=0)] [math(\displaystyle\frac{d}{d\mu}\left[\left(1-\cos^2\theta\right)\frac{d\Theta}{d\mu}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta=0)] [math(\displaystyle\frac{d}{d\mu}\left[\left(1-\mu^2\right)\frac{d\Theta}{d\mu}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right]\Theta=0)] 이 이차 상미분방정식의 해는 [math(\displaystyle \Theta=\begin{cases}P_l^m(\mu)=P_l^m(\cos\theta) \\ Q_l^m(\mu)=Q_l^m(\cos\theta)\end{cases})]으로 잘 알려져있다. 여기에서 [math(\displaystyle P_l^m(x))]는 x에 대한 르장드르 연관 다항식(associated Legendre Polynomial)이며, [math(\displaystyle Q_l^m(x))]는 미분방정식 [math(\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right)\frac{dy}{dx}\right]+\left[l\left(l+1\right)-\frac{m^2}{1-x^2}\right]y=0)]의 또 다른 해인 제 2종 르장드르 연관 다항식(associated Legendre function of the second kind)이다. 종합하여 [math(\displaystyle f\left(r,\theta,\phi\right)=R\Theta\Phi=\begin{Bmatrix}r^l \\ r^{-l-1}\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}P_l^m(\cos\theta) \\ Q_l^m(\cos\theta)\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}\sin m\phi \\ \cos m\phi \end{Bmatrix})]저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기